home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Usenet 1993 July / InfoMagic USENET CD-ROM July 1993.ISO / answers / fractal-faq < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1993-06-18  |  57.0 KB

  1. Path: senator-bedfellow.mit.edu!enterpoop.mit.edu!gatech!howland.reston.ans.net!agate!sprite.berkeley.edu!shirriff
  2. From: shirriff@sprite.berkeley.edu (Ken Shirriff)
  3. Newsgroups: sci.fractals,news.answers,sci.answers
  4. Subject: Fractal FAQ
  5. Supersedes: <fractal-faq_739322516@sprite.Berkeley.EDU>
  6. Followup-To: sci.fractals
  7. Date: 18 Jun 1993 23:10:50 GMT
  8. Organization: University of California, Berkeley
  9. Lines: 1236
  10. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  11. Expires: 12 Jul 1993 23:12:53 GMT
  12. Message-ID: <fractal-faq_740445173@sprite.Berkeley.EDU>
  13. NNTP-Posting-Host: hijack.berkeley.edu
  14. Summary: Fractal software, algorithms, definitions, and references.
  15. Keywords: fractals, chaos, Mandelbrot
  16. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.fractals:1676 news.answers:9541 sci.answers:252
  17.  
  18. Archive-name: fractal-faq
  19. Last-modified: June 15, 1993
  20.  
  21. This file is a frequently asked questions file for sci.fractals.  The purpose
  22. of this file is to collect common fractal questions and answers into a con-
  23. venient file.  This file is normally posted about every two weeks.
  24.  
  25. Like most FAQs, the most recent copy of this FAQ is archived at various places
  26. such as rtfm.mit.edu [18.70.0.224]: /pub/usenet/news.answers/fractal-faq and
  27. ftp.uu.net [137.39.1.9 or 192.48.96.9]: /usenet/news.answers/fractal-faq.Z.
  28.  
  29. I am happy to receive more information to add to this file.  Also, if you can
  30. correct mistakes you find, let me know.
  31.  
  32. Please send additions, comments, errors, etc. to Ken Shirriff
  33. (shirriff@sprite.Berkeley.EDU).
  34.  
  35. This file is Copyright 1993 Ken Shirriff.  Permission is given for non-profit
  36. distribution of this file, as long as my name remains attached.  However, I
  37. would like to be informed if you distribute this file on other systems, so I
  38. have an idea of where it is.
  39.  
  40. Updated questions are marked with an asterisk.  The questions which are
  41. answered are:
  42. Q1a: What is fractint?
  43. Q1b: How does fractint achieve its speed?
  44. Q2a: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  45. Q2b: Where can I obtain fractal papers?
  46. Q3: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  47. Q4a: How does anonymous ftp work?
  48. Q4b: What if I can't use ftp to access files?
  49. Q5: Where is alt.binaries.pictures.fractals archived?
  50. Q6: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  51. Q7a: What is the Mandelbrot set?
  52. Q7b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  53. Q7c: Why do you start with z=0?
  54. Q7d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  55. Q7e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  56. Q7f: What is the area of the Mandelbrot set?
  57. Q7g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  58. Q7h: Is the Mandelbrot set connected?
  59. Q8a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  60. Q8b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  61. Q8c: How is a Julia set actually computed?
  62. Q8d: What are some Julia set facts?
  63. Q9a: How does complex arithmetic work?
  64. Q9b: How does quaternion arithmetic work?
  65. Q10: What is Feigenbaum's constant?
  66. Q11a: What is an iterated function system (IFS)?
  67. Q11b: What is the state of fractal compression?
  68. Q12a: How can you make a chaotic oscillator?
  69. Q12b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  70. Q13: What is some information on fractal music?
  71. Q14: How are fractal mountains generated?
  72. Q15: What are plasma clouds?
  73. Q16a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  74. Q16b: What are Lyapunov exponents?
  75. Q16c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  76. Q17: What is the logistic equation?
  77. Q18: What is chaos?
  78. Q19: What is nonlinearity? What are nonlinear equations?
  79. Q20: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  80. Q21a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  81. Q21b: What is topological dimension?
  82. Q22: What is a strange attractor?
  83. Q23: How can I take photos of fractals?
  84. Q24: How can I join the BITNET fractal discussion?
  85. Q25: How can 3-D fractals be generated?
  86. Q26: What are some general references on fractals and chaos?
  87.  
  88. You can search for the question you're interested in in "rn" or "trn" using
  89. "g^Q11" (that's lower-case g, up-arrow, Q, and a number) where "11" is the
  90. question you wish.  Or you may browse forward using <control-G> to search for
  91. a Subject: line.
  92.  
  93. Questions and answers
  94.  
  95. ------------------------------
  96.  
  97. Subject: Fractint
  98.  
  99. Q1a: What is fractint?
  100. A1a: Fractint is a very popular freeware (not public domain) fractal genera-
  101. tor.  There are DOS, Windows, OS/2, and Unix/X versions.  The DOS version is
  102. the original version, and is the most up-to-date.
  103.  
  104. Please note: sci.fractals is not a product support newsgroup for fractint.
  105. Bugs in fractint/xfractint should usually go to the authors rather than being
  106. posted.
  107.  
  108. Fractint is on many ftp sites.  For example:
  109. DOS: ftp to wuarchive.wustl.edu [128.252.135.4].  The source is in the file
  110.     /mirrors/msdos/graphics/frasr18.zip.  The executable is in the file
  111.     /mirrors/msdos/graphics/fraint18.zip.  It is available on Compuserve: GO
  112.     GRAPHDEV and look for FRAINT.EXE and FRASRC.EXE in LIB 4.
  113. There is a collection of map, parameter, etc. files for Fractint.  Ftp from
  114.     wuarchive.wustl.edu in /pub/MSDOS_UPLOADS/graphics/fracxtr2.zip.
  115. Windows: ftp to wuarchive.wustl.edu.  The source is in the file
  116.     /mirrors/msdos/windows3/winsr173.zip.  The executable is in the file
  117.     /mirrors/msdos/windows3/winfr173.zip.
  118. OS/2: available on Compuserve in its GRAPHDEV forum.  The files are PM*.ZIP.
  119.     These files are also available from ftp-os2.nmsu.edu in
  120.     /pub/os2/2.0/graphics/pmfra2.zip.
  121. Unix: ftp to sprite.berkeley.edu [128.32.150.27].  The source is in the file
  122.     xfract200.shar.Z.  Note: sprite is an unreliable machine; if you can't
  123.     connect to it, try again in a few hours, or try hijack.berkeley.edu.
  124. Macintosh: there is no Macintosh version of fractint, although there are
  125.     several people working on a port. It is possible to run fractint on the
  126.     Macintosh if you use Insignia Software's SoftAT, which is a PC AT emula-
  127.     tor.
  128.  
  129. For European users, these files are available from ftp.uni-koeln.de.  If you
  130. can't use ftp, see the mail server info in Q3.
  131.  
  132. Q1b: How does fractint achieve its speed?
  133. A1b: Fractint's speed (such as it is) is due to a combination of:
  134.  
  135. 1. using fixed point math rather than floating point where possible (huge im-
  136. provement for non-coprocessor machine, small for 486's).
  137.  
  138. 2. exploiting symmetry of fractal.
  139.  
  140. 3. detecting nearly repeating orbits, avoid useless iteration (e.g. repeatedly
  141. iterating 0^2+0 etc. etc.).
  142.  
  143. 4. reducing computation by guessing solid areas (especially the "lake" area).
  144.  
  145. 5. using hand-coded assembler in many places.
  146.  
  147. 6. obtaining both sin and cos from one 387 math coprocessor instruction.
  148.  
  149. 7. using good direct memory graphics writing in 256-color modes.
  150.  
  151. The first four are probably the most important. Some of these introduce er-
  152. rors, usually quite acceptable.
  153.  
  154. ------------------------------
  155.  
  156. Subject: Other fractal software
  157.  
  158. Q2a: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  159. A2a:
  160. For X windows:
  161.     xmntns and xlmntn: these generate fractal mountains.  They can be obtained
  162.         from ftp.uu.net [137.39.1.9] in the directory
  163.         /usenet/comp.sources.x/volume8/xmntns.
  164.     xfroot: generates a fractal root window.
  165.     xmartin: generates a Martin hopalong root window.
  166.     xmandel: generates Mandelbrot/Julia sets.
  167.     xfroot, xmartin, xmandel are part of the X11 distribution.
  168.     lyap: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from: ftp.uu.net in
  169.         /usenet/comp.sources.x/volume17/lyapunov-xlib.
  170.     spider: Uses Thurston's algorithm for computing postcritically finite po-
  171.         lynomials, draws Mandelbrot and Julia sets using the Koebe algorithm,
  172.         and draws Julia set external angles.  Ftp from: lyapunov.ucsd.edu in
  173.         pub/inls-ucsd/spider.
  174.  
  175. Distributed X systems:
  176.     MandelSpawn: computes Mandelbrot/Julia sets on a network of machines.  Ftp
  177.         from: export.lcs.mit.edu [18.24.0.12]: /contrib/mandelspawn-0.06.tar.Z
  178.         or funic.funet.fi[128.214.6.100]: /pub/X11/contrib/mandelspawn-
  179.         0.06.tar.Z.
  180.     gnumandel: computes Mandelbrot images on a network.  Ftp from:
  181.         informatik.tu-muenchen.de [131.159.0.110] in /pub/GNU/gnumandel.
  182.  
  183. For Unix/C:
  184.     lsys: generates L-systems as PostScript or other textual output. No graph-
  185.         ical interface at present. (in C++) Ftp from: ftp.cs.unc.edu in
  186.         pub/lsys.tar.Z.
  187.     lyapunov: generates PGM Lyapunov exponent images.  Ftp from: ftp.uu.net in
  188.         /usenet/comp.sources.misc/volume23/lyapuov.  SPD: contains generators
  189.         for fractal mountain, tree, recursive tetrahedron.  Ftp from:
  190.         princeton.edu [128.112.128.1] in /pub/Graphics.
  191.  
  192. For Mac:
  193.     fractal, L-System, 3DL-System, IFS, FracHill are available from
  194.         ftphost.aukuni.ac.nz [130.216.1.5] in the architec directory.
  195.     fractal-wizard-15.hqx, julias-dream-107.hqx, mandel-net.hqx, mandel-zot-
  196.         304.hqx, and mandella-70.hqx are available from sumex.stanford.edu in
  197.         /info-mac/app.
  198.     mandel-tv: a very fast Mandelbrot generator.  Ftp from: oswego.oswego.edu
  199.         [129.3.1.1] in /pub/mac/da/mandel-tv.hqx.
  200.     There are also commercial programs, such as IFS Explorer and Fractal Clip
  201.     Art, which are published by Koyn Software (314) 878-9125.
  202.  
  203. For NeXT:
  204.     Lyapunov: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  205.         nova.cc.purdue.edu in /pub/next/2.0-release/source.
  206.  
  207. For MSDOS:
  208.     Fractal WitchCraft: a very fast fractal design program.  Ftp from:
  209.         garbo.uwasa.fi [128.214.87.1] in /pc/demo/fw1-08.zip.
  210.     CAL: generates more than 15 types of fractals including Mandelbrot,
  211.         Lyapunov, IFS, user-defined formulas, logistic equation, and quatern-
  212.         ion julia sets.  Ftp from: oak.oakland.edu [141.210.10.117] (or any
  213.         other Simtel mirror) in pub/msdos/graphics/frcal035.zip.
  214.     Fractal Discovery Laboratory: designed for use in a science museum or
  215.         school setting.  The Lab has five sections: Art Gallery ( 72 images --
  216.         Mandelbrots, Julias, Lyapunovs), Microscope ( 85 images -- Biomorph,
  217.         Mandelbrot, Lyapunov, ...), Movies (165 images, 6 "movies":  Mandel-
  218.         brot Evolution, Splitting a Mini-Mandelbrot, Fractal UFO, ...), Tools
  219.         (Gingerbreadman, Lorentz Equations, Fractal Ferns, von Koch Snowflake,
  220.         Sierpinski Gasket), and Library (Dictionary, Books and Articles).
  221.         Sampler available from Compuserver GRAPHDEV Lib 4 in DISCOV.ZIP, or
  222.         send high-density disk and self-addressed, stamped envelope to: Earl
  223.         F. Glynn, 10808 West 105th Street, Overland Park, Kansas 66214-3057.
  224.     For windows: dy-syst.zip.  This program explores Newton's method, Mandel-
  225.         brot set, and Julia sets.  Ftp from mathcs.emory.edu in pub/riddle.
  226. There are a whole bunch of fractal programs available from wsmr-
  227. simtel20.army.mil [192.88.110.20] in the directory "pd1:<msdos.graphics>":
  228.     forb01a.zip: Displays orbits of Mandelbrot mapping. C/E/VGA
  229.     fract30.arc: Mandelbrot/Julia set 2D/3D EGA/VGA Fractal Gen
  230.     fractfly.zip: Create Fractal flythroughs with FRACTINT
  231.     frain172.zip: FRACTINT v17.2 EGA/VGA/XGA fractal generator
  232.     frasr172.zip: C & ASM src for FRACTINT v17.2 fractal gen.
  233.     frcal030.zip: Fractal drawing program: 15 formulae available
  234.     frcaldmo.zip: 800x600x256 demo images for FRCAL030.ZIP
  235.     frpor172.zip: Xfract-compatible Fractint 17.2 source
  236.     fdesign.zip: Program to visually design IFS fractals
  237.  
  238. For Amiga: (all entries marked "ff###" are .lzh files in the Fish Disk set
  239.     available at ux1.cso.uiuc.edu and other sites in /amiga/fish)
  240.     General Mandelbrot generators with many features: Mandelbrot (ff030), Man-
  241.         del (ff218), Mandelbrot (ff239), TurboMandel (ff302), MandelBltiz
  242.         (ff387), SMan (ff447), MandelMountains (ff383, in 3-D), MandelPAUG
  243.         (ff452, MandFXP movies), MandAnim (ff461, anims),  ApfelKiste (ff566,
  244.         very fast), MandelSquare (ff588, anims)
  245.     Mandelbrot and Julia sets generators: MandelVroom (ff215), Fractals
  246.         (ff371, also Newton-R and other sets)
  247.     With different algorithmic approaches (shown): FastGro (ff188, DLA),
  248.         IceFrac (ff303, DLA), DEM (ff303, DEM), CPM (ff303, CPM in 3-D), Frac-
  249.         talLab (ff391, any equation)
  250.     Iterated Function System generators (make ferns, etc): FracGen (ff188,
  251.         uses "seeds"), FCS (ff465), IFSgen (ff554), IFSLab (ff696, "Collage
  252.         Theorem")
  253.     Unique fractal types: Cloud (ff216, cloud surfaces), Fractal (ff052, ter-
  254.         rain), IMandelVroom (strange attractor contours?), Landscape (ff554,
  255.         scenery), Scenery (ff155, scenery), Plasma (ff573, plasma clouds)
  256.     Fractal generators (I do not know their features): PolyFractals (ff015),
  257.         FFEX (ff549)
  258.     Lyapunov fractals: Ftp /pub/aminet/new/lyapunovia.lha from ftp.luth.se.
  259.     Commercial packages: Fractal Pro 5.0, Scenery Animator 2.0, Vista Profes-
  260.         sional, Fractuality (reviewed in April '93 Amiga User International).
  261.  
  262. Please inform me of any other programs you know of.
  263.  
  264. Q2b: Where can I obtain fractal papers?
  265. A2b: There are several sites with fractal papers:
  266.  
  267. There is an archive site for preprints and programs on nonlinear dynamics and
  268. related subjects at lyapunov.ucsd.edu [132.239.86.10].  There are also arti-
  269. cles on dynamics, including the IMS preprint series, available from
  270. math.sunysb.edu [129.49.31.57].
  271.  
  272. A collection of short papers on fractal formulas, drawing methods, and
  273. transforms is available from ftp.coe.montana.edu in /pub/fractals.
  274.  
  275. The site life.anu.edu.au [150.203.38.74] has a collection of fractal programs,
  276. papers, information related to complex systems, and gopher and World Wide Web
  277. connections.  The ftp path is /pub/complex_systems; look in fractals, tutori-
  278. al, and anu92.  The Word Wide Web access is "http://life.anu.edu.au/".  The
  279. gopher path is:
  280. Name=BioInformatics gopher at ANU
  281. Host=life.anu.edu.au
  282. Type=1
  283. Port=70
  284. Path=1/complex_systems/fractals
  285.  
  286. ------------------------------
  287.  
  288. Subject: Fractal items
  289.  
  290. Q3: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  291. A3: One source is Art Matrix, P.O. box 880, Ithaca, New York, 14851, 1-800-
  292. PAX-DUTY.  Another source is Media Magic; they sell many fractal posters,
  293. calendars, videos, software, t-shirts, ties, and a huge variety of books on
  294. fractals, chaos, graphics, etc.  Media Magic is at PO Box 598 Nicasio, CA
  295. 94946, 415-662-2426.
  296.  
  297. ------------------------------
  298.  
  299. Subject: Ftp questions
  300.  
  301. Q4a: How does anonymous ftp work?
  302. A4a: Anoynmous ftp is a method of making files available to anyone on the In-
  303. ternet.  In brief, if you are on a system with ftp (e.g. Unix), you type "ftp
  304. lyapunov.ucsd.edu", or whatever system you wish to access.  You are prompted
  305. for your name and you reply "anonymous".  You are prompted for your password
  306. and you reply with your email address.  You then use "ls" to list the files,
  307. "cd" to change directories, "get" to get files, and "quit" to exit.  For exam-
  308. ple, you could say "cd /pub", "ls", "get README", and "quit"; this would get
  309. you the file "README".
  310.  
  311. Q4b: What if I can't use ftp to access files?
  312. A4b: If you don't have access to ftp because you are on a uucp/Fidonet/etc
  313. network there is an e-mail gateway at ftpmail@decwrl.dec.com that can retrieve
  314. the files for you.  To get instructions on how to use the ftp gateway send a
  315. blank message to ftpmail@decwrl.dec.com with one line containing the word
  316. 'help'.
  317.  
  318. This is a sample message of how to retrieve xfractint from
  319. sprite.Berkeley.EDU:
  320. % mail ftpmail@decwrl.dec.com
  321. Subject:  <ignored>
  322. reply <yourname>@<yoursite>
  323. connect sprite.berkeley.edu anonymous
  324. dir         /* note: you can give a pathname here to list */
  325. binary
  326. uuencode    /* note: this command is optional and the default is btoa */
  327. get xfract200.shar.Z
  328. quit
  329.  
  330. That would retrieve a directory of the archive, then xfract108.shar.Z.  Note
  331. that the dir command is important to learn if the filename has changed.  To
  332. receive xfract108.shar.Z, you must set the server to "binary" mode because the
  333. file is compressed.  Compressed files are then either sent out uuencoded or
  334. btoa'd.  So, you must obtain copies of the programs will receive.  (Most Unix
  335. systems have uudecode and uncompress.) Ask your local computer guru for cla-
  336. rification on how to do this.
  337.  
  338. ------------------------------
  339.  
  340. Subject: Archived pictures
  341.  
  342. Q5: Where is alt.binaries.pictures.fractals archived?
  343. A5: Fractal images (GIFs, etc.) used to be posted to alt.fractals.pictures;
  344. this newsgroup has been replaced by alt.binaries.pictures.fractals.  Pictures
  345. from 1990 and 1991 are available via anonymous ftp from csus.edu [130.86.90.1]
  346. in /pub/alt.fractals.pictures.  As far as I know, more recent pictures are not
  347. archived anywhere.
  348.  
  349. ------------------------------
  350.  
  351. Subject: Learning about fractals
  352.  
  353. Q6: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  354. A6: There is a book list at the end.  _Chaos_ is a good book to get a general
  355. overview and history.  _Fractals Everywhere_ is a textbook on fractals that
  356. describes what fractals are and how to generate them, but it requires knowing
  357. intermediate analysis.  _Chaos, Fractals, and Dynamics_ is also a good start.
  358.  
  359. ------------------------------
  360.  
  361. Subject: The Mandelbrot set
  362.  
  363. Q7a: What is the Mandelbrot set?
  364. A7a: The Mandelbrot set is the set of all complex c such that iterating z ->
  365. z^2+c does not go to infinity (starting with z=0).
  366.  
  367. Q7b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  368. A7b: The basic algorithm is:
  369. For each pixel c, start with z=0.  Repeat z=z^2+c up to N times, exiting if
  370. the magnitude of z gets large.
  371. If you finish the loop, the point is probably inside the Mandelbrot set.  If
  372. you exit, the point is outside and can be colored according to how many
  373. iterating were completed.  You can exit if |z|>2, since if z gets this big it
  374. will go to infinity.  The maximum number of iterations, N, can be selected as
  375. desired, for instance 100.  Larger N will give sharper detail but take longer.
  376.  
  377. Q7c: Why do you start with z=0?
  378. A7c: Zero is the critical point of z^2+c, that is, a point where d/dz (z^2+c)
  379. = 0.  If you replace z^2+c with a different function, the starting value will
  380. have to be modified.  E.g. for z->z^2+z+c, the critical point is given by
  381. 2z+1=0, so start with z=-1/2.  In some cases, there may be multiple critical
  382. values, so they all should be tested.
  383.  
  384. Critical points are important because by a result of Fatou: every attracting
  385. cycle for a polynomial or rational function attracts at least one critical
  386. point.  Thus, testing the critical point shows if there is any stable attrac-
  387. tive cycle.  See also:
  388.  
  389. [1]  M. Frame and J. Robertson, A Generalized Mandelbrot Set and the Role of
  390. Critical Points, _Computers and Graphics, Vol. 16_ 16, 1 (1992), pp. 35-40.
  391.  
  392. Note that you can precompute the first Mandelbrot iteration by starting with
  393. z=c instead of z=0, since 0^2+c=c.
  394.  
  395. Q7d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  396. A7d: The Mandelbrot set lies within |c|<=2.  If |z| exceeds 2, the z sequence
  397. diverges.  Proof: if |z|>2, then |z^2+c| >= |z^2|-|c| > 2|z|-|c|.  If
  398. |z|>=|c|, then 2|z|-|c| > |z|.  So, if |z|>2 and |z|>=c, |z^2+c|>|z|, so the
  399. sequence is increasing.  (It takes a bit more work to prove it is unbounded
  400. and diverges.) Also, note that z1=c, so if |c|>2, the sequence diverges.
  401.  
  402. Q7e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  403. A7e: See:
  404.  
  405. 1.  R. Rojas, A Tutorial on Efficient Computer Graphic Representations of the
  406. Mandelbrot Set, _Computers and Graphics_ 15, 1 (1991), pp. 91-100.
  407.  
  408. Q7f: What is the area of the Mandelbrot set?
  409. A7f: Ewing and Schober computed an area estimate using 240,000 terms of the
  410. Laurent series.  The result is 1.7274...  The behavior of the approximations
  411. suggests that the limit is between 1.66 and 1.71.  However, the estimates of
  412. the area using pixel counting, suggest that the area is around 1.52.  The
  413. large gap between the pixel estimate 1.52 and the upper bound 1.72 may
  414. possibly be an indication that the boundary of the Mandelbrot set has positive
  415. area.  However, recent work suggests that the sequence converges very slowly
  416. and the area is closer to 1.5 than to the upper bound.  Reference:
  417.  
  418. 1.  J. H. Ewing and G. Schober, The Area of the Mandelbrot Set, _Numer. Math._
  419. 61 (1992), pp. 59-72.
  420.  
  421. There is currently a project to measure the area via counting pixels on a very
  422. dense grid.  Preliminary results show an area around 1.5066.  Contact
  423. mrob@world.std.com for more information.
  424.  
  425. Q7g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  426. A7g: Most of what you could want to know is in Branner's article in _Chaos and
  427. Fractals: The Mathematics Behind the Computer Graphics_.
  428.  
  429. Note that the Mandelbrot set in general is _not_ self-similar; the tiny copies
  430. of the Mandelbrot set are all slightly different, mainly because of the thin
  431. threads connecting them to the main body of the Mandelbrot set.  However, the
  432. Mandelbrot set is quasi-self-similar.  The Mandelbrot set is self-similar
  433. under magnification in neighborhoods of Misiurewicz points, however (e.g.
  434. -.1011+.9563i).  The Mandelbrot set is conjectured to be self-similar around
  435. generalized Feigenbaum points (e.g.  -1.401155 or -.1528+1.0397i), in the
  436. sense of converging to a limit set.  References:
  437.  
  438. 1.  T. Lei, Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets,
  439. _Communications in Mathematical Physics_ 134 (1990), pp. 587-617.
  440.  
  441. 2.  J. Milnor, Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set, in
  442. _Computers in Geometry and Topology_, M. Tangora (editor), Dekker, New York,
  443. pp. 211-257.
  444.  
  445. The boundary of the Mandelbrot set and the Julia set of a generic c in M have
  446. Hausdorff dimension 2 and have topological dimension 1.  The proof is based on
  447. the study of the bifurcation of parabolic periodic points.  (Since the
  448. boundary has empty interior, the topological dimension is less than 2, and
  449. thus is 1.) Reference:
  450.  
  451. 1.  M. Shishikura, The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Mandelbrot
  452. Set and Julia Sets, The paper is available from anonymous ftp to
  453. math.sunysb.edu [129.49.18.1] in /preprints/ims91-7.ps.Z.
  454.  
  455. The "external angles" of the Mandelbrot set (see Douady and Hubbard or brief
  456. sketch in "Beauty of Fractals") induce a Fibonacci partition onto it.
  457.  
  458. Q7h: Is the Mandelbrot set connected?
  459. A7h: The Mandelbrot set is simply connected.  This follows from a theorem of
  460. Douady and Hubbard that there is a conformal isomorphism from the complement
  461. of the Mandelbrot set to the complement of the unit disk.  (In other words,
  462. all equipotential curves are simple closed curves.) It is conjectured that the
  463. Mandelbrot set is locally connected, and thus pathwise connected, but this is
  464. currently unproved.
  465.  
  466. Connectedness definitions:
  467.  
  468. Connected: X is connected if there are no proper closed subsets A and B of X
  469. such that A union B = X, but A intersect B is empty.  I.e. X is connected if
  470. it is a single piece.
  471.  
  472. Simply connected: X is simply connected if it is connected and every closed
  473. curve in X can be deformed in X to some constant closed curve.  I.e. X is
  474. simply connected if it has no holes.
  475.  
  476. Locally connected: X is locally connected if for every point p in X, for every
  477. open set U containing p, there is an open set V containing p and contained in
  478. the connected component of p in U.  I.e. X is locally connected if every
  479. connected component of every open subset is open in X.
  480.  
  481. Arcwise (or path) connected: X is arcwise connected if every two points in X
  482. are joined by an arc in X.
  483.  
  484. (The definitions are from _Encyclopedic Dictionary of Mathematics_.)
  485.  
  486. ------------------------------
  487.  
  488. Subject: Julia sets
  489.  
  490. Q8a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  491. A8a: The Mandelbrot set iterates z^2+c with z starting at 0 and varying c.
  492. The Julia set iterates z^2+c for fixed c and varying starting z values.  That
  493. is, the Mandelbrot set is in parameter space (c-plane) while the Julia set is
  494. in dynamical or variable space (z-plane).
  495.  
  496. Q8b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  497. A8b: Each point c in the Mandelbrot set specifies the geometric structure of
  498. the corresponding Julia set.  If c is in the Mandelbrot set, the Julia set
  499. will be connected.  If c is not in the Mandelbrot set, the Julia set will be a
  500. Cantor dust.
  501.  
  502. Q8c: How is a Julia set actually computed?
  503. A8c: The Julia set can be computed by iteration similar to the Mandelbrot
  504. computation.  Alternatively, points on the boundary of the Julia set can be
  505. computed quickly by using inverse iterations.  This technique is particularly
  506. useful when the Julia set is a Cantor Set.
  507.  
  508. Q8d: What are some Julia set facts?
  509. A8d: The Julia set of any rational map of degree greater than one is perfect
  510. (hence in particular uncountable and nonempty), completely invariant, equal to
  511. the Julia set of any iterate of the function, and also is the boundary of the
  512. basin of attraction of every attractor for the map.
  513.  
  514. Julia set references:
  515.  
  516. 1.  A. F. Beardon, _Iteration of Rational Functions : Complex Analytic
  517. Dynamical Systems_, Springer-Verlag, New York, 1991.
  518.  
  519. 2.  P. Blanchard, Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere, _Bull. of
  520. the Amer. Math. Soc_ 11, 1 (July 1984), pp. 85-141.  This article is a
  521. detailed discussion of the mathematics of iterated complex functions. It
  522. covers most things about Julia sets of rational polynomial functions.
  523.  
  524. ------------------------------
  525.  
  526. Subject: Complex arithmetic and quaternion arithmetic
  527.  
  528. Q9a: How does complex arithmetic work?
  529. A9a: It works mostly like regular algebra with a couple additional formulas:
  530. (note: a,b are reals, x,y are complex, i is the square root of -1)
  531. Powers of i: i^2 = -1
  532. Addition: (a+i*b)+(c+i*d) = (a+c)+i*(b+d)
  533. Multiplication: (a+i*b)*(c+i*d) = a*c-b*d + i*(a*d+b*c)
  534. Division: (a+i*b)/(c+i*d) = (a+i*b)*(c-i*d)/(c^2+d^2)
  535. Exponentiation: exp(a+i*b) = exp(a)(cos(b)+i*sin(b))
  536. Sine: sin(x) = (exp(i*x)-exp(-i*x))/(2*i)
  537. Cosine: cos(x) = (exp(i*x)+exp(-i*x)/2
  538. Magnitude: |a+i*b| = sqrt(a^2+b^2)
  539. Log: log(a+i*b) = log(|a+i*b|)+i*arctan(b/a)  (Note: log is multivalued.)
  540. Complex powers: x^y = exp(y*log(x))
  541. DeMoivre's theorem: x^a = r^a * [cos(a*theta) + i * sin(a*theta)]
  542. More details can be found in any complex analysis book.
  543.  
  544. Q9b: How does quaternion arithmetic work?
  545. A9b: Quaternions have 4 components (a+ib+jc+kd) compared to the two of complex
  546. numbers.  Operations such as addition and multiplication can be performed on
  547. quaternions, but multiplication is not commutative.  Quaternions satisfy the
  548. rules i^2=j^2=k^2=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j.
  549.  
  550. ------------------------------
  551.  
  552. Subject: Feigenbaum's constant
  553.  
  554. Q10: What is Feigenbaum's constant?
  555. A10: In a period doubling cascade, consider the parameter values where
  556. period-doubling events occur.  The limit of the ratio of distances between
  557. consecutive doubling values is Feigenbaum's constant.  It has the value
  558. 4.669201660910...
  559.  
  560. References:
  561.  
  562. 1.  K. Briggs, How to calculate the Feigenbaum constants on your PC, _Aust.
  563. Math.  Soc.  Gazette_ 16 (1989), p. 89.
  564.  
  565. 2.  K. Briggs, A precise calculation of the Feigenbaum constants, _Mathematics
  566. of Computation_ 57 (1991), pp. 435-439.
  567.  
  568. 3.  K. Briggs, G. R. W. Quispel and C. Thompson, Feigenvalues for Mandelsets,
  569. _J. Phys._ A24 (1991), pp. 3363-3368.
  570.  
  571. ------------------------------
  572.  
  573. Subject: Iterated function systems
  574.  
  575. Q11a: What is an iterated function system (IFS)?
  576. A11a: If a fractal is self-similar, you can specify various mappings that map
  577. the whole onto the parts.  By taking a point and repeatedly applying these
  578. mappings you end up with a collection of points on the fractal.  In other
  579. words, instead of a single mapping x -> F(x), there is a collection of
  580. (usually linear) mappings, and random selection chooses which mapping is used.
  581.  
  582. Iterated function systems can be used to make things such as fractal ferns and
  583. trees and are also used in fractal image compression.  _Fractals Everywhere_
  584. by Barnsley is mostly about iterated function systems.
  585.  
  586. Q11b: What is the state of fractal compression?
  587. A11b: (Much of this information comes from the comp.compression FAQ, available
  588. from FAQ archive sites as compression-faq.  That FAQ has more information and
  589. a long list of references.  The state of fractal compression seems to be quite
  590. controversial, with some people claiming it doesn't work well, and others
  591. claiming it works wonderfully.)
  592.  
  593. Tal Kubo <kubo@zariski.harvard.edu> states:
  594.  
  595. According to Barnsley's book 'Fractals Everywhere', this method is based on a
  596. measure of deviation between a given image and its approximation by an IFS
  597. code.  The Collage Theorem states that there is a convergent process to
  598. minimize this deviation.  Unfortunately, according to an article Barnsley
  599. wrote for BYTE a few years ago, this convergence was rather slow, about 100
  600. hours on a Cray, unless assisted by a person.
  601.  
  602. Barnsley et al are not divulging any technical information beyond the meager
  603. bit in 'Fractals Everywhere'.  The book explains the idea of IFS codes at
  604. length, but is vague about the application of the Collage theorem to specific
  605. compression problems.
  606.  
  607. There is reason to believe that Barnsley's company has *no algorithm* which
  608. takes a given reasonable image and achieves the compression ratios initially
  609. claimed for their fractal methods.  The 1000-to-1 compression advertised was
  610. achieved only for a 'rigged' class of images, with human assistance. The best
  611. unaided performance I've heard of is good lossy compression of about 80-1.
  612.  
  613. But Yuval Fisher <fisher@inls1.ucsd.edu> disagrees:
  614.  
  615. Their performance has improved dramatically beyond what they were talking
  616. about in BYTE a few years ago.  Human assistance to the compression is no
  617. longer needed and the compression time is reasonable, although the more time
  618. and compute power you throw at the compression, the smaller the resulting file
  619. for the same level of quality.
  620.  
  621. Kevin Ring provided information on Iterated Systems, Inc.'s products.  They
  622. have a Windows viewer, compressor, and magnifier program, as well as a
  623. hardware assist board.  They claim compression ratios such as 80:1, 154:1,
  624. 614:1, and 2546:1.
  625.  
  626. An introductory paper is:
  627.  
  628. 1.  A. E. Jacquin, Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated
  629. Contractive Image Transformation, _IEEE Transactions on Image Processing_,
  630. January 1992.
  631.  
  632. A fractal decompression demo program is available by anonymous ftp to
  633. lyapunov.ucsd.edu [132.239.86.10] in /pub/inls-ucsd/fractal-2.0.
  634.  
  635. Another MS-DOS compression demonstration program is available by anonymous ftp
  636. to lyapunov.ucsd.edu in /pub/young-fractal.
  637.  
  638. ------------------------------
  639.  
  640. Subject: Chaotic demonstrations
  641.  
  642. Q12a: How can you make a chaotic oscillator?
  643. A12a: Two references are:
  644.  
  645. 1.  T. S. Parker and L. O. Chua, Chaos: a tutorial for engineers, _Proceedings
  646. IEEE_ 75 (1987), pp. 982-1008.
  647.  
  648. 2.  _New Scientist_, June 30, 1990, p. 37.
  649.  
  650. Q12b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  651. A12b: Two references are:
  652.  
  653. 1.  K. Briggs, Simple Experiments in Chaotic Dynamics, _American Journal of
  654. Physics_ 55, 12 (Dec 1987), pp. 1083-1089.
  655.  
  656. 2.  J. L. Snider, Simple Demonstration of Coupled Oscillations, _American
  657. Journal of Physics_ 56, 3 (Mar 1988), p. 200.
  658.  
  659. ------------------------------
  660.  
  661. Subject: Fractal music
  662.  
  663. Q13: What is some information on fractal music?
  664. A13: Some references, many from an unpublished article by Stephanie Mason,
  665. are:
  666.  
  667. 1.  C. Dodge, A Musical Fractal, _Computer Music Journal_ 12, 13 (Fall 1988),
  668. p. 10.
  669.  
  670. 2.  K. J. Hsu and A. Hsu, Fractal Geometry of Music, _Proceedings of the
  671. National Academy of Science, USA_ 87 (1990), pp. 938-941.
  672.  
  673. 3.  K. J. Hsu and A. Hsu, Self-similatrity of the '1/f noise' called music.,
  674. _Proceedings of the National Academy of Science USA_ 88 (1991), pp. 3507-3509.
  675.  
  676. 4.  C. Pickover, _Mazes for the Mind: Computers and the Unexpected_, St.
  677. Martin's Press, New York, 1992.
  678.  
  679. 5.  P. Prusinkiewicz, Score Generation with L-Systems, _International Computer
  680. Music Conference 86 Proceedings_, 1986, pp. 455-457.
  681.  
  682. 6.  P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, _The Algorithmic Beauty of Plants_,
  683. Springer-Verlag, NY, 1990.  ISBN 0-387-97297-8. A very good book L-systems,
  684. which can be used to model plants in a VERY realistic fashion (the book
  685. contains a lot of pictures).
  686.  
  687. 7.  P. Przemyslaw and J. Hanan, _Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants._,
  688. Springer-Verlag, New York, 1989.
  689.  
  690. 8.  _Byte_ 11, 6 (June 1986), pp. 185-196.
  691.  
  692. Basically, L-Systems create music from space filling curves by interpreting
  693. the curves lateral and vertical motion as pitch and duration.  L-System curves
  694. are recursively defined, and hence show fractal similarity.
  695.  
  696. ------------------------------
  697.  
  698. Subject: Fractal mountains
  699.  
  700. Q14: How are fractal mountains generated?
  701. A14: Usually by a method such as taking a triangle, dividing it into 3
  702. subtriangles, and perturbing the center point.  This process is then repeated
  703. on the subtriangles.  This results in a 2-d table of heights, which can then
  704. be rendered as a 3-d image.  One reference is:
  705.  
  706. 1.  M. Ausloos, _Proc. R. Soc. Lond. A_ 400 (1985), pp. 331-350.
  707.  
  708. ------------------------------
  709.  
  710. Subject: Plasma clouds
  711.  
  712. Q15: What are plasma clouds?
  713. A15: They are a fractint fractal and are similar to fractal mountains.
  714. Instead of a 2-d table of heights, the result is a 2-d table of intensities.
  715. They are formed by repeatedly subdividing squares.
  716.  
  717. ------------------------------
  718.  
  719. Subject: Lyapunov fractals
  720.  
  721. Q16a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  722. A16a: See:
  723.  
  724. 1.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  725. 1991, pp. 178-180.
  726.  
  727. 2.  M. Markus and B. Hess, Lyapunov Exponents of the Logistic Map with
  728. Periodic Forcing, _Computers and Graphics_ 13, 4 (1989), pp. 553-558.
  729.  
  730. 3.  M. Markus, Chaos in Maps with Continuous and Discontinuous Maxima,
  731. _Computers in Physics_, Sep/Oct 1990, pp. 481-493.
  732.  
  733. Q16b: What are Lyapunov exponents?
  734. A16b:
  735.  
  736. Lyapunov exponents quantify the amount of linear stability or instability of
  737. an attractor, or an asymptotically long orbit of a dynamical system.  There
  738. are as many lyapunov exponents as there are dimensions in the state space of
  739. the system, but the largest is usually the most important.
  740.  
  741. Given two initial conditions for a chaotic system, a and b, which are close
  742. together, the average values obtained in successive iterations for a and b
  743. will differ by an exponentially increasing amount.  In other words, the two
  744. sets of numbers drift apart exponentially.  If this is written e^(n*(lambda))
  745. for n iterations, then e^(lambda) is the factor by which the distance between
  746. closely related points becomes stretched or contracted in one iteration.
  747. Lambda is the Lyapunov exponent.  At least one Lyapunov exponent must be
  748. positive in a chaotic system.  A simple derivation is available in:
  749.  
  750. 1.  H. G. Schuster, _Deterministic Chaos: An Introduction_, Physics Verlag,
  751. 1984.
  752.  
  753. Q16c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  754. A16c: For the common periodic forcing pictures, the lyapunov exponent is:
  755.  
  756. lambda = limit as N->infinity of 1/N times sum from n=1 to N of log2(abs(dx
  757. sub n+1 over dx sub n))
  758.  
  759. In other words, at each point in the sequence, the derivative of the iterated
  760. equation is evaluated.  The Lyapunov exponent is the average value of the log
  761. of the derivative.  If the value is negative, the iteration is stable.  Note
  762. that summing the logs corresponds to multiplying the derivatives; if the
  763. product of the derivatives has magnitude < 1, points will get pulled closer
  764. together as they go through the iteration.
  765.  
  766. MS-DOS and Unix programs for estimating Lyapunov exponents from short time
  767. series are available from lyapunov.ucsd.edu in /pub/ncsu.
  768.  
  769. Computing Lyapunov exponents in general is more difficult.  Some references
  770. are:
  771.  
  772. 1.  H. D. I. Abarbanel, R. Brown and M. B. Kennel, Lyapunov Exponents in
  773. Chaotic Systems: Their importance and their evaluation using observed data,
  774. _International Journal of Modern Physics B_ 56, 9 (1991), pp. 1347-1375.
  775.  
  776. 2.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  777. 1991, pp. 178-180.
  778.  
  779. 3.  M. Frank and T. Stenges, _Journal of Economic Surveys_ 2 (1988), pp. 103-
  780. 133.
  781.  
  782. 4.  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  783. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  784.  
  785. ------------------------------
  786.  
  787. Subject: Logistic equation
  788.  
  789. Q17: What is the logistic equation?
  790. A17: It models animal populations.  The equation is x -> c*x*(1-x), where x is
  791. the population (between 0 and 1) and c is a growth constant.  Iteration of
  792. this equation yields the period doubling route to chaos.  For c between 1 and
  793. 3, the population will settle to a fixed value.  For larger c, the population
  794. will oscillate between two values, then four values, eight, sixteen, etc.  For
  795. still larger c (between 3.57 and 4), the population behavior is chaotic (for
  796. most c values).  See "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems" for more
  797. information.)
  798.  
  799. ------------------------------
  800.  
  801. Subject: Chaos
  802.  
  803. Q18: What is chaos?
  804. A18: An attractor is chaotic if at least one of its Lyapunov exponents is
  805. positive.  Chaos results from the existence of a chaotic attractor.
  806.  
  807. Chaos is the recurrent behavior of a deterministic dynamical system in which
  808. the phase-space divergence of nearby trajectories at an exponential rate
  809. results in a limited predictability horizon.
  810.  
  811. In chaotic iterated systems of the form x_{i+1}=f(x_i), the result after
  812. iteration is extremely sensitive to the initial value such that
  813. f^n(x_0+(epsilon)) is nowhere near f^n(x_0).
  814.  
  815. Chaos results from our inability to predict the future behavior of a
  816. deterministic system from initial conditions because of its great sensitivity
  817. to initial conditions.
  818.  
  819. Chaos is apparently unpredictable behavior arising in a deterministic system.
  820.  
  821. ------------------------------
  822.  
  823. Subject: Nonlinearity
  824.  
  825. Q19: What is nonlinearity? What are nonlinear equations?
  826. A19: Nonlinear maps fail to satisfy the condition that f(ax+by)=af(x)+bf(y)
  827. where x and y are vectors, and a and b are scalars.  e.g. f(x)=ax is linear.
  828. f(x)=x^2 is nonlinear.  Nonlinearity is a map or term that is not linear.
  829.  
  830. A nonlinear system gives an output which is not proportional to the
  831. corresponding input.  Nonlinear dynamical systems possess nonlinear dynamical
  832. laws, which are functions of the system's state variables.
  833.  
  834. In linear systems, dy/dx is a constant, while in nonlinear systems dy/dx=some
  835. nonconstant function of x.
  836.  
  837. Nonlinear equations fail to exhibit linear superimposability.  Nonlinear
  838. equations can be categorized by differentiability, discontinuity, and "memory"
  839. (e.g. hysteresis in an electric circuit), etc.  This can be important to some
  840. types of nonlinear analysis such as the Popov hyperstability criterion.
  841.  
  842. Nonlinearity References:
  843.  
  844. 1.  W. A. Brock and E. G. Baek, Some Theory of Statistical Inference for
  845. Nonlinear Science, _Review of Economic Studies_ 58, 4 (1991), pp. 697-716.
  846.  
  847. 2.  J. Guckenheimer and P. Holmes, _Nonlinear Oscillations Dynamical Systems
  848. and Bifurcations of Vector Fields_, Springer-Verlag, New York, 1983.
  849.  
  850. 3.  D. Zelinsky, _A First Course in Linear Algebra_, Academic Press, 1973.
  851.  
  852. ------------------------------
  853.  
  854. Subject: What is a fractal?
  855.  
  856. Q20: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  857. A20: A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided
  858. in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the
  859. whole.  (A definition from B. Mandelbrot)
  860.  
  861. A fractal is a set of points whose fractal (Hausdorff) dimension exceeds its
  862. topological dimension.
  863.  
  864. Examples of fractals: Sierpinski triangle, Koch snowflake, Peano curve,
  865. Mandelbrot set.
  866.  
  867. ------------------------------
  868.  
  869. Subject: Fractal dimension
  870.  
  871. Q21a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  872. A21a: A common type of fractal dimension is the Hausdorff-Besikovich
  873. Dimension.
  874.  
  875. Roughly, fractal dimension can be calculated by taking the limit of the
  876. quotient of the log change in object size and the log change in measurement
  877. scale, as the measurement scale approaches zero.  The differences come in what
  878. is exactly meant by "object size" and what is meant by "measurement scale" and
  879. how to get an average number out of many different parts of a geometrical
  880. object.  Fractal dimensions quantify the static *geometry* of an object.
  881.  
  882. For example, consider a straight line.  Now blow up the line by a factor of
  883. two.  The line is now twice as long as before.  Log 2 / Log 2 = 1,
  884. corresponding to dimension 1.  Consider a square.  Now blow up the square by a
  885. factor of two.  The square is now 4 times as large as before (i.e. 4 original
  886. squares can be placed on the original square).  Log 4 / log 2 = 2,
  887. corresponding to dimension 2 for the square.  Consider a snowflake curve
  888. formed by repeatedly replacing ___ with _/\_, where each of the 4 new lines is
  889. 1/3 the length of the old line.  Blowing up the snowflake curve by a factor of
  890. 3 results in a snowflake curve 4 times as large (one of the old snowflake
  891. curves can be placed on each of the 4 segments _/\_).  Log 4 / log 3 =
  892. 1.261...  Since the dimension 1.261 is larger than the dimension 1 of the
  893. lines making up the curve, the snowflake curve is a fractal.
  894.  
  895. Fractal dimension references:
  896.  
  897. 1.  J. P. Eckmann and D. Ruelle, _Reviews of Modern Physics_ 57, 3 (1985), pp.
  898. 617-656.
  899.  
  900. 2.  K. J. Falconer, _The Geometry of Fractal Sets_, Cambridge Univ.  Press,
  901. 1985.
  902.  
  903. 3.  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  904. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  905.  
  906. 4.  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_, Springer-
  907. Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains many
  908. color and black and white photographs, high level math, and several
  909. pseudocoded algorithms.
  910.  
  911. 5.  G. Procaccia, _Physica D_ 9 (1983), pp. 189-208.
  912.  
  913. 6.  J. Theiler, _Physical Review A_ 41 (1990), pp. 3038-3051.
  914.  
  915. References on how to estimate fractal dimension:
  916.  
  917. 1.  E. Peters, _Chaos and Order in the Capital Markets_, New York, 1991.  ISBN
  918. 0-471-53372-6 Discusses methods of computing fractal dimension.  Includes
  919. several short programs for nonlinear analysis.
  920.  
  921. 2.  J. Theiler, Estimating Fractal Dimension, _Journal of the Optical Society
  922. of America A-Optics and Image Science_ 7, 6 (June 1990), pp. 1055-1073.
  923.  
  924. Fractal dimension software:
  925.  
  926. Fractal Dimension Calculator is a Macintosh program which uses the box-
  927. counting method to compute the fractal dimension of planar graphical objects.
  928. It is available by anonymous ftp from wuarchive.wustl.edu The path is:
  929. /mirrors4/architec/Fractals/FracDim.sit.hqx.
  930.  
  931. FD3: estimates capacity, information, and correlation dimension from a list of
  932. points.  It computes log cell sizes, counts, log counts, log of Shannon
  933. statistics based on counts, log of correlations based on counts, two-point
  934. estimates of the dimensions at all scales examined, and over-all least-square
  935. estimates of the dimensions.  Ftp from: lyapunov.ucsd.edu [132.239.86.10] in
  936. pub/cal-state-stan.  Also look in pub/inls-ucsd for an enhanced Grassberger-
  937. Procaccia algorithm for correlation dimension.  A MS-DOS version of FP3 is
  938. available by request to gentry@altair.csustan.edu.
  939.  
  940. Q21b: What is topological dimension?
  941. A21b: Topological dimension is the "normal" idea of dimension; a point has
  942. topological dimension 0, a line has topological dimension 1, a surface has
  943. topological dimension 2, etc.
  944.  
  945. For a rigorous definition:
  946.  
  947. A set has topological dimension 0 if every point has arbitrarily small
  948. neighborhoods whose boundaries do not intersect the set.
  949.  
  950. A set S has topological dimension k if each point in S has arbitrarily small
  951. neighborhoods whose boundaries meet S in a set of dimension k-1, and k is the
  952. least nonnegative integer for which this holds.
  953.  
  954. ------------------------------
  955.  
  956. Subject: Strange attractors
  957.  
  958. Q22: What is a strange attractor?
  959. A22: A strange attractor is the limit set of a chaotic trajectory.
  960.  
  961. A strange attractor is an indecomposable closed invariant set that "attracts"
  962. the points about it which contains a transversal homoclinic orbit.  (This
  963. orbit accounts for the strangeness.)
  964.  
  965. A strange attractor is a phase space locus of a bounded long-term dynamical
  966. behavior which has a nonzero probability of being observed - its basin of
  967. attraction has positive measure - and contains not a smooth manifold
  968. structure, but rather a self-similar or fractal structure.  Note: While all
  969. chaotic attractors are strange, not all strange attractors are chaotic.
  970. Reference:
  971.  
  972. 1.  Grebogi, et al., Strange Attractors that are not Chaotic, _Physica D_ 13
  973. (1984), pp. 261-268.
  974.  
  975. Consider a volume in phase space defined by all the initial conditions a
  976. system may have.  For a dissipative system, this volume will shrink as the
  977. system evolves in time (Liouville's Theorem).  If the system is sensitive to
  978. initial conditions, the trajectories of the points defining initial conditions
  979. will move apart in some directions, closer in others, but there will be a net
  980. shrinkage in volume.  Ultimately, all points will lie along a fine line of
  981. zero volume.  This is the strange attractor.  All initial points in phase
  982. space which ultimately land on the attractor form a Basin of Attraction.
  983. Note: A strange attractor results if a system is sensitive to initial
  984. conditions and is not conservative.
  985.  
  986. A strange attractor is the surfaces which the state of a chaotic system will
  987. be confined to, given time for transients to die out.
  988.  
  989. ------------------------------
  990.  
  991. Subject: How can I take photos of fractals?
  992.  
  993. Q23: How can I take photos of fractals?
  994. A23: Noel Giffin gets good results with the following setup:
  995. Use 100 asa Kodak gold for prints or 64 asa for slides.
  996. Use a long lens (100mm) to flatten out the field of view and minimize screen
  997. curvature.  Use f4 stop.
  998. Shutter speed must be longer than frame rate to get a complete image; 1/4
  999. seconds works well.
  1000. Use a tripod and cable release or timer to get a stable picture.  The room
  1001. should be completely blackened, with no light, to prevent glare and to prevent
  1002. the monitor from showing up in the picture.
  1003.  
  1004. ------------------------------
  1005.  
  1006. Subject: How can I join the BITNET fractal discussion?
  1007.  
  1008. Q24: How can I join the BITNET fractal discussion?
  1009. A24: There is a fractal discussion on BITNET that uses an automatic mail
  1010. server that sends mail to a distribution list.  (On some systems, the contents
  1011. of FRAC-L appear in the Usenet newsgroup bit.listserv.frac-l.) To join the
  1012. mailing list, send a message to listserv@gitvm1.gatech.edu with the following
  1013. as text:
  1014. SUBSCRIBE FRAC-L John Doe    (where John Doe is replaced by your name)
  1015. To unsubscribe, send the message:
  1016. UNSUBSCRIBE FRAC-L
  1017. If that doesn't unsubscribe you, you can try:
  1018. SIGNOFF FRAC-L (GLOBAL
  1019. If that doesn't work or you have other problems, you can contact the list
  1020. administrator.  You can obtain their name by sending the message:
  1021. REVIEW FRAC-L
  1022.  
  1023. ------------------------------
  1024.  
  1025. Subject: 3-D fractals
  1026.  
  1027. Q25: How can 3-D fractals be generated?
  1028. A25: A common source for 3-D fractals is to compute Julia sets with
  1029. quaternions instead of complex numbers.  The resulting Julia set is four
  1030. dimensional.  By taking a slice through the 4-D Julia set (e.g. by fixing one
  1031. of the coordinates), a 3-D object is obtained.  This object can then be
  1032. displayed using computer graphics techniques such as ray tracing.
  1033.  
  1034. The papers to read on this are:
  1035.  
  1036. 1.  J. Hart, D. Sandin and L. Kauffman, Ray Tracing Deterministic 3-D
  1037. Fractals, _SIGGRAPH_, 1989, pp. 289-296.
  1038.  
  1039. 2.  A. Norton, Generation and Display of Geometric Fractals in 3-D,
  1040. _SIGGRAPH_, 1982, pp. 61-67.
  1041.  
  1042. 3.  A. Norton, Julia Sets in the Quaternions, _Computers and Graphics,_ 13, 2
  1043. (1989), pp. 267-278.  Two papers on cubic polynomials, which can be used to
  1044. generate 4-D fractals:
  1045.  
  1046. 1.  B. Branner and J. Hubbard, The iteration of cubic polynomials, part I.,
  1047. _Acta Math_ 66 (1988), pp. 143-206.
  1048.  
  1049. 2.  J. Milnor, Remarks on iterated cubic maps, Ftp from math.sunysb.edu in
  1050. /preprints/ims90-6.ps.Z. Published in 1991 SIGGRAPH Course Notes #14: Fractal
  1051. Modeling in 3D Computer Graphics and Imaging.
  1052.  
  1053. Instead of quaternions, you can of course use other functions.  For instance,
  1054. you could use a map with more than one parameter, which would generate a
  1055. higher-dimensional fractal.
  1056.  
  1057. Another way of generating 3-D fractals is to use 3-D iterated function systems
  1058. (IFS).  These are analogous to 2-D IFS, except they generate points in a 3-D
  1059. space.
  1060.  
  1061. A third way of generating 3-D fractals is to take a 2-D fractal such as the
  1062. Mandelbrot set, and convert the pixel values to heights to generate a 3-D
  1063. "Mandelbrot mountain".  This 3-D object can then be rendered with normal
  1064. computer graphics techniques.
  1065.  
  1066. ------------------------------
  1067.  
  1068. Subject: What are some general references?
  1069.  
  1070. Q26: What are some general references on fractals and chaos?
  1071. A26: Some references are:
  1072.  
  1073. 1.  M. Barnsley, _Fractals Everywhere_, Academic Press Inc., 1988.  ISBN 0-
  1074. 12-079062-9.  This is an excellent text book on fractals.  This is probably
  1075. the best book for learning about the math underpinning fractals. It is also a
  1076. good source for new fractal types.
  1077.  
  1078. 2.  M. Barnsley and L. Hurd, _Fractal Image Compression_, Jones and Bartlett,
  1079. December, 1992.  ISBN 0-86720-457-5. This book explores the science of the
  1080. fractal transform in depth. The authors begin with a foundation in information
  1081. theory and present the technical background for fractal image compression. In
  1082. so doing, they explain the detailed workings of the fractal transform.
  1083. Algorithms are illustrated using source code in C.
  1084.  
  1085. 3.  M. Barnsley and L. Anson, _The Fractal Transform_, Jones and Bartlett,
  1086. April, 1993.  ISBN 0-86720-218-1. This book is a sequel to _Fractals
  1087. Everywhere_. Without assuming a great deal of technical knowledge, the authors
  1088. explain the workings of the Fractal Transform (tm). The Fractal Transform is
  1089. the compression tool for storing high-quality images in a minimal amount of
  1090. space on a computer. Barnsley uses examples and algorithms to explain how to
  1091. transform a stored pixel image into its fractal representation.
  1092.  
  1093. 4.  R. Devaney and L. Keen, eds., _Chaos and Fractals: The Mathematics Behind
  1094. the Computer Graphics_, American Mathematical Society, Providence, RI, 1989.
  1095. This book contains detailed mathematical descriptions of chaos, the Mandelbrot
  1096. set, etc.
  1097.  
  1098. 5.  R. L. Devaney, _An Introduction to Chaotic Dynamical Systems_, Addison-
  1099. Wesley, 1989.  ISBN 0-201-13046-7.  This book introduces many of the basic
  1100. concepts of modern dynamical systems theory and leads the reader to the point
  1101. of current research in several areas. It goes into great detail on the exact
  1102. structure of the logistic equation and other 1-D maps.  The book is fairly
  1103. mathematical using calculus and topology.
  1104.  
  1105. 6.  R. L. Devaney, _Chaos, Fractals, and Dynamics_, Addison-Wesley, 1990.
  1106. ISBN 0-201-23288-X.  This is a very readable book.  It introduces chaos
  1107. fractals and dynamics using a combination of hands-on computer experimentation
  1108. and precalculus math.  Numerous full-color and black and white images convey
  1109. the beauty of these mathematical ideas.
  1110.  
  1111. 7.  R. Devaney, _A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Theory and
  1112. Experiment_, Addison Wesley, 1992.  A nice undergraduate introduction to chaos
  1113. and fractals.
  1114.  
  1115. 8.  G. A. Edgar, _Measure Topology and Fractal Geometry_, Springer- Verlag
  1116. Inc., 1990.  ISBN 0-387-97272-2.  This book provides the math necessary for
  1117. the study of fractal geometry.  It includes the background material on metric
  1118. topology and measure theory and also covers topological and fractal dimension,
  1119. including the Hausdorff dimension.
  1120.  
  1121. 9.  K. Falconer, _Fractal Geometry: Mathematical Foundations and
  1122. Applications_, Wiley, New York, 1990.
  1123.  
  1124. 10.  J. Feder, _Fractals_, Plenum Press, New York, 1988.  This book is
  1125. recommended as an introduction.  It introduces fractals from geometrical
  1126. ideas, covers a wide variety of topics, and covers things such as time series
  1127. and R/S analysis that aren't usually considered.
  1128.  
  1129. 11.  J. Gleick, _Chaos: Making a New Science_, Penguin, New York, 1987.
  1130.  
  1131. 12.  B. Hao, ed., _Chaos_, World Scientific, Singapore, 1984.  This is an
  1132. excellent collection of papers on chaos containing some of the most
  1133. significant reports on chaos such as ``Deterministic Nonperiodic Flow'' by
  1134. E.N.Lorenz.
  1135.  
  1136. 13.  S. Levy, _Artificial life : the quest for a new creation_, Pantheon
  1137. Books, New York, 1992.  This book takes off where Gleick left off.  It looks
  1138. at many of the same people and what they are doing post-Gleick.
  1139.  
  1140. 14.  B. Mandelbrot, _The Fractal Geometry of Nature_, W. H.  FreeMan and Co.,
  1141. New York.  ISBN 0-7167-1186-9.  In this book Mandelbrot attempts to show that
  1142. reality is fractal-like.  He also has pictures of many different fractals.
  1143.  
  1144. 15.  H. O. Peitgen and P. H. Richter, _The Beauty of Fractals_, Springer-
  1145. Verlag Inc., New York, 1986.  ISBN 0-387-15851-0.  Lots of neat pictures.
  1146. There is also an appendix giving the coordinates and constants for the color
  1147. plates and many of the other pictures.
  1148.  
  1149. 16.  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_,
  1150. Springer-Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains
  1151. many color and black and white photographs, high level math, and several
  1152. pseudocoded algorithms.
  1153.  
  1154. 17.  H. Peitgen, H. Juergens and D. Saupe, _Fractals for the Classroom_,
  1155. Springer-Verlag, New York, 1992.  These two volumes are aimed at advanced
  1156. secondary school students (but are appropriate for others too), have lots of
  1157. examples, explain the math well, and give BASIC programs.
  1158.  
  1159. 18.  H. Peitgen, H. Juergens and D. Saupe, _Chaos and Fractals: New Frontiers
  1160. of Science_, Springer-Verlag, New York, 1992.
  1161.  
  1162. 19.  C. Pickover, _Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an
  1163. Unseen World_, St. Martin's Press, New York, 1990.  This book contains a bunch
  1164. of interesting explorations of different fractals.
  1165.  
  1166. 20.  J. Pritchard, _The Chaos Cookbook: A Practical Programming Guide_,
  1167. Butterworth-Heinemann, Oxford, 1992.  ISBN 0-7506-0304-6. It contains type-
  1168. in-and-go listings in BASIC and Pascal. It also eases you into some of the
  1169. mathematics of fractals and chaos in the context of graphical experimentation.
  1170. So it's more than just a type-and-see-pictures book, but rather a lab
  1171. tutorial, especially good for those with a weak or rusty (or even non-
  1172. existent) calculus background.
  1173.  
  1174. 21.  P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, _The Algorithmic Beauty of Plants_,
  1175. Springer-Verlag, NY, 1990.  ISBN 0-387-97297-8. A very good book L-systems,
  1176. which can be used to model plants in a VERY realistic fashion (the book
  1177. contains a lot of pictures).
  1178.  
  1179. 22.  M. Schroeder, _Fractals, Chaos, and Power Laws: Minutes from an Infinite
  1180. Paradise_, W. H. Freeman, New York, 1991.  This book contains a clearly
  1181. written explanation of fractal geometry with lots of puns and word play.
  1182.  
  1183. 23.  D. Stein, ed., _Proceedings of the Santa Fe Institute's Complex Systems
  1184. Summer School_, Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1988.  See esp. the first
  1185. article by David Campbell: ``Introduction to nonlinear phenomena''.
  1186.  
  1187. 24.  R. Stevens, _Fractal Programming in C_, M&T Publishing, 1989 ISBN 1-
  1188. 55851-038-9.  This is a good book for a beginner who wants to write a fractal
  1189. program.  Half the book is on fractal curves like the Hilbert curve and the
  1190. von Koch snow flake.  The other half covers the Mandelbrot, Julia, Newton, and
  1191. IFS fractals.
  1192.  
  1193. 25.  I. Stewart, _Does God Play Dice?: the Mathematics of Chaos_, B.
  1194. Blackwell, New York, 1989.
  1195.  
  1196. 26.  T. Wegner and M. Peterson, _Fractal Creations_, The Waite Group, 1991.
  1197. This is the book describing the Fractint program.
  1198.  
  1199. Journals:
  1200. "Chaos and Graphics" section in the quarterly journal _Computers and
  1201. Graphics_.  This contains recent work in fractals from the graphics
  1202. perspective, and usually contains several exciting new ideas.
  1203. "Mathematical Recreations" section by A. K. Dewdney in _Scientific American_.
  1204. Algorithms - The Personal Computer Newsletter.  P.O. Box 29237, Westmount
  1205. Postal Outlet, 785 Wonderland Road S., London, Ontario, Canada, N6K 1M6.
  1206. Mandala
  1207. Fractal Report.  Reeves Telecommunication Labs. West Towan House, Pothtowan,
  1208. TRURO, Cornwall TR4 8AX, U.K.
  1209. Amygdala.  P.O. Box 219 San Cristobal, NM  87564-0219.  This is a newsletter
  1210. about the Mandelbrot Set and other fractals.  A trial subscription for 6
  1211. issues is $15 to: Amygdala Box 219 / San Cristobal, NM 87564.  Contact Rollo
  1212. Silver (rsilver@lanl.gov) for more information.
  1213. FRAC'Cetera.  This is a gazetteer of the world of fractals and related areas,
  1214. supplied in IBM PC format.  For more information, contact:  Jon Horner, Editor
  1215. FRAC'Cetera, Le Mont Ardaine, Rue des Ardains, St. Peters, Guernsey, Channel
  1216. Islands, United Kingdom.
  1217. Fractals, An interdisciplinary Journal On The Complex Geometry of Nature.
  1218. This is a new journal published by World Scientific.  B.B Mandelbrot is the
  1219. Honorary Editor and T. Vicsek, M.F. Shlesinger, M.M Matsushita are the
  1220. Managing Editors).  The aim of this first international journal on fractals is
  1221. to bring together the most recent developments in the research of fractals so
  1222. that a fruitful interaction of the various approaches and scientific views on
  1223. the complex spatial and temporal behavior could take place.  Subscription
  1224. rates are 176 US$ for Institutions and Libraries and 88 US$ for Individuals
  1225. and Institutions in developing countries.
  1226.  
  1227. Articles:
  1228.  
  1229. 1.  P. Blanchard, Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere, _Bull. of
  1230. the Amer. Math. Soc_ 11, 1 (July 1984), pp. 85-141.  This article is a
  1231. detailed discussion of the mathematics of iterated complex functions. It
  1232. covers most things about Julia sets of rational polynomial functions.
  1233.  
  1234. ------------------------------
  1235.  
  1236. Subject: Acknowledgements
  1237.  
  1238. For their help with this file, thanks go to:
  1239. Alex Antunes, Steve Bondeson, Erik Boman, Jacques Carette, John Corbit,
  1240. Abhijit Deshmukh, Robert Drake, Detlev Droege, Gerald Edgar, Gordon
  1241. Erlebacher, Duncan Foster, David Fowler, Murray Frank, Jean-loup Gailly, Noel
  1242. Giffin, Earl Glynn, Lamont Granquist, Luis Hernandez-Ure:a, Arto Hoikkala,
  1243. Carl Hommel, Robert Hood, Oleg Ivanov, Simon Juden, J. Kai-Mikael, Leon Katz,
  1244. Matt Kennel, Tal Kubo, Jon Leech, Brian Meloon, Tom Menten, Guy Metcalfe,
  1245. Eugene Miya, Robert Munafo, Miriam Nadel, Ron Nelson, Tom Parker, Dale Parson,
  1246. Matt Perry, Cliff Pickover, Francois Pitt, Michael Rolenz, Tom Scavo, Jeffrey
  1247. Shallit, Rollo Silver, Gerolf Starke, Bruce Stewart, Dwight Stolte, Tommy
  1248. Vaske, Tim Wegner, Andrea Whitlock, Erick Wong, Wayne Young, and others.
  1249.  
  1250. Special thanks to Matthew J. Bernhardt (mjb@acsu.buffalo.edu) for collecting
  1251. many of the chaos definitions.
  1252.  
  1253. Copyright 1993 Ken Shirriff (shirriff@sprite.Berkeley.EDU).
  1254.